Resumen de la historia de las matemáticas

 Resumen

La historia de las matemáticas es algo impresionante que comienza en  la prehistoria, cuando el ser humano quizo aprender a contar y ordenar las cosas. Al hacerlo, empezaron a identificar ciertos patrones y reglas en los conceptos de números, tamaños y formas. Descubrieron los principios básicos de la suma y la resta (por ejemplo,  piedras, frutas o mamuts). Hoy, tales ideas pueden parecer obvias, pero fueron avances profundos para su época, y ponen de manifiesto que la historia de las matemáticas es sobre todo un gran aporte para la humanidad.

 Aunque fueran la curiosidad y la intuición humanas las que reconocieron los principios subyacentes de las matemáticas, y el ingenio humano el que más tarde aportó diversos medios para registrarlos y anotarlos, tales principios en sí mismos no son una invención humana. El hecho de que 2 + 2 = 4 es verdad, con independencia de la existencia humana; las reglas de las matemáticas, como las leyes de la física, son universales, eternas e invariables. Al mostrar por primera vez que los ángulos de cualquier triángulo en un plano suman 180° (una línea recta), los matemáticos no inventaron, sino que descubrieron un hecho que siempre había sido cierto, y que siempre lo será.

El desarrollo de aplicaciones cotidianas ayudo mucho al  descubrimiento matemático comenzó en tiempos prehistóricos, con el desarrollo de modos de contar cosas que era necesario cuantificar. En su versión más simple, podía tratarse de marcas en huesos o palos, un medio rudimentario pero fiable de registrar el número de determinadas cosas. Con el tiempo se asignaron palabras y símbolos a los números, y evolucionaron los primeros sistemas de numeración, un medio para expresar operaciones tales como la adquisición de artículos adicionales, el agotamiento de producto almacenado u operaciones básicas de la aritmética.

Con el descubrimiento de las actividades de la caza y la recolección al comercio y a la agricultura, y con la sofisticación creciente de las sociedades, las operaciones aritméticas y un sistema de numeración se convirtieron en herramientas esenciales para transacciones de toda clase. Para facilitar el comercio, la gestión de existencias y los impuestos de incontables bienes tales como aceite, harina o parcelas de terreno, se desarrollaron sistemas de medida, asignando valores numéricos a dimensiones tales como el peso y la longitud. Los cálculos se volvieron también más complejos, desarrollándose los conceptos de multiplicación y división a partir de la suma y la resta, lo cual permitió calcular, por ejemplo, áreas de terreno.

En las civilizaciones antiguas, estos nuevos hallazgos matemáticos, y en particular la medición de objetos en el espacio, constituyeron el fundamento de la geometría, conocimiento que se podía aplicar a la construcción y la fabricación de herramientas. Al emplear estas mediciones para fines prácticos, surgieron determinados patrones que podían resultar útiles a su vez. Con un triángulo de lados de tres, cuatro y cinco unidades se podía hacer una escuadra de arquitecto sencilla pero precisa. Sin tales herramientas y conocimientos precisos, no se habrían podido construir los caminos, canales, zigurats y pirámides de las antiguas Mesopotamia y Egipto.

A medida que se iban encontrando nuevas aplicaciones para estos descubrimientos matemáticos –en la astronomía, la navegación, la ingeniería, la contabilidad, la tributación y otros campos– fueron surgiendo nuevos patrones e ideas. Las civilizaciones antiguas pusieron los cimientos de las matemáticas por medio de este proceso interdependiente de aplicación y descubrimiento, pero desarrollaron también la fascinación por la matemática en sí misma, o las llamadas matemáticas puras.

 A partir de mediados del I milenio a.C. comenzaron a surgir los primeros matemáticos puros en Grecia, y poco más tarde en India y China, y construyeron sobre el legado de los pioneros prácticos de la disciplina: los ingenieros, astrónomos y exploradores de las civilizaciones anteriores.

 Aunque no les interesaban especialmente las aplicaciones prácticas de sus hallazgos, estos matemáticos antiguos no limitaron sus estudios a las matemáticas. Al explorar las propiedades de los números, las formas y los procesos, descubrieron reglas y patrones universales que plantearon cuestiones metafísicas acerca de la naturaleza del cosmos, atribuyendo incluso propiedades místicas a dichos patrones. Las matemáticas, por tanto, solían tenerse como una disciplina complementaria de la filosofía –muchos de los mayores matemáticos de todos los tiempos fueron también filósofos, o viceversa–, y el vínculo entre ambas disciplinas ha persistido hasta la actualidad.

 Así comenzó la historia de las matemáticas tal como hoy se conciben: los descubrimientos, conjeturas y conocimientos de los matemáticos que conforman el grueso de este libro. Además de los pensadores individuales y sus ideas, es una historia de las sociedades y las culturas, un hilo de pensamiento en continuo desarrollo que desde las antiguas civilizaciones de Mesopotamia y Egipto pasó por Grecia, China, India, el Imperio islámico y la Europa del Renacimiento hasta llegar al mundo moderno. En su evolución, las matemáticas fueron incorporando varios campos de estudio separados, pero interconectados.

El primero de estos campos que surgió, y en muchos aspectos el más fundamental, fue el estudio de los números y las cantidades, hoy llamado aritmética, del griego arithmós («número»). En su nivel más básico, se ocupa de contar y asignar valores numéricos a las cosas, pero también de las operaciones aplicables a los números, como la suma, resta, multiplicación y división. Del simple concepto de un sistema numérico proviene el estudio de las propiedades de los números, y también el estudio del concepto mismo. Determinados números –como las constantes π., e, o los números primos e irracionales– han sido objeto de una fascinación especial, y con ello de estudios considerables.

Otro campo relevante de las matemáticas es el álgebra, que es el estudio de la estructura, el modo en que se organizan las matemáticas, y tiene por tanto alguna relevancia en todos los demás campos. Lo que distingue el álgebra de la aritmética es el uso de símbolos tales como letras para representar variables (números desconocidos). En su forma más básica, el álgebra es el estudio de las reglas subyacentes de uso de dichos símbolos en matemáticas, por ejemplo en las ecuaciones. Los métodos para resolver ecuaciones, incluso complejas de segundo grado, los habían descubierto ya los antiguos babilonios, pero fueron los matemáticos medievales de la edad de oro del islam los pioneros del empleo de símbolos para simplificar el proceso, y nos dejaron el término álgebra, del árabe al jabr. Desarrollos más recientes del álgebra han extendido la idea de la abstracción al estudio de la estructura algebraica, conocida como álgebra abstracta.

 Un tercer gran campo de las matemáticas es la geometría, que se ocupa del concepto de espacio y de las relaciones entre los objetos en el mismo: el estudio de la forma, tamaño y posición de las figuras. Evolucionó a partir de la muy práctica actividad de describir las dimensiones físicas de las cosas en proyectos de ingeniería y construcción, de la medición y distribución de parcelas de terreno y de las observaciones astronómicas para la navegación y la elaboración de calendarios. Una rama particular de la geometría, la trigonometría (el estudio de las propiedades de los triángulos) resultó especialmente útil para tales empeños. Quizá debido a su carácter tan concreto, la geometría fue la piedra angular para muchas civilizaciones antiguas, a las que aportó un medio de resolución de problemas y demostraciones en otros campos.

Así fue particularmente en la antigua Grecia, donde geometría y matemáticas fueron prácticamente sinónimas. El legado de los grandes filósofos matemáticos como Pitágoras, Platón y Aristóteles fue consolidado por Euclides, cuyos principios matemáticos basados en una combinación de geometría y lógica fueron aceptados como fundamento de la disciplina durante unos dos mil años. En el siglo XIX, sin embargo, se propusieron alternativas a la geometría euclidiana clásica que abrieron nuevos campos de estudio, entre ellos, la topología, que estudia la naturaleza y las propiedades no solo de los objetos en el espacio, sino del espacio mismo.

Desde la época clásica, las matemáticas se ocuparon de situaciones estáticas, o de cómo son las cosas en un momento dado, y no ofrecían un medio para medir o calcular el cambio continuo. El cálculo, desarrollado de forma independiente por Gottfried Leibniz e Isaac Newton en el siglo XVII, dio respuesta a este problema. Las dos ramas del cálculo, integral y diferencial, aportaron un medio de análisis para cosas tales como la pendiente de las curvas en un gráfico y el área bajo ellas, con el fin de describir y calcular el cambio.

El hallazgo del cálculo inauguró un campo de análisis que sería especialmente relevante más adelante, por ejemplo para la teoría de la mecánica cuántica y la teoría del caos en el siglo XX.

 A finales del siglo XIX y principios del XX surgió un nuevo campo matemático, el de los fundamentos de las matemáticas, que hizo revivir el vínculo entre filosofía y matemáticas. Al igual que hiciera Euclides en el siglo III a.C., estudiosos como Gottlob Frege y Bertrand Russell trataron de descubrir los fundamentos lógicos en los que se basan los principios matemáticos. Su trabajo inspiró un reexamen de la naturaleza de las matemáticas mismas, cómo funcionan y cuáles son sus límites. Este estudio de los conceptos matemáticos básicos es, quizá, el más abstracto de los campos, una especie de metamatemática, pero es un anexo esencial de todos los demás campos de la matemática moderna.

Los campos de las matemáticas – geometría, álgebra, aritmética, cálculo y fundamentos– son dignos de estudio por sí mismos, y la imagen popular que se tiene de las matemáticas académicas es la de una abstracción casi incomprensible. Sin embargo, se ha solido hallar aplicaciones prácticas para los descubrimientos matemáticos, y los avances científicos y tecnológicos han dado pie a innovaciones en el pensamiento matemático.

Un ejemplo señalado es la relación simbiótica entre matemáticas y ordenadores. Diseñados originalmente como medio mecánico para realizar cálculos tediosos y confeccionar tablas para matemáticos, astrónomos y demás estudiosos, la propia construcción de ordenadores nuevos exigió nuevos planteamientos matemáticos. Fueron los matemáticos, tanto como los ingenieros, quienes aportaron los medios para construir ingenios de computación, primero mecánicos, luego electrónicos, que a su vez servían como herramienta en el descubrimiento de nuevos conceptos matemáticos. Sin duda, en el futuro se encontrarán aplicaciones nuevas para los teoremas matemáticos, y, dados los numerosos problemas aún por resolver, no parece haber límite a los futuros descubrimientos matemáticos.

La historia de las matemáticas es una exploración de estos diferentes campos y del descubrimiento de otros nuevos, pero es también la historia de los propios exploradores, los matemáticos que se propusieron un objetivo definido, encontrar soluciones a problemas irresueltos; que se adentraron en territorio desconocido en busca de nuevas ideas; o que simplemente dieron con una idea en el curso de su travesía matemática que les inspiró la visión de adónde conduciría. El descubrimiento se produjo en algunos casos como una revelación que transformaba planteamientos, abriendo el camino hacia campos inexplorados; otros fueron casos de encontrarse «a hombros de gigantes», desarrollando las ideas de pensadores anteriores o encontrándoles aplicaciones prácticas.

The history of mathematics is something impressive that begins in prehistory, when human beings wanted to learn to count and order things. In doing so, they began to identify certain patterns and rules in the concepts of numbers, sizes, and shapes. They discovered the basic principles of addition and subtraction (for example, stones, fruits, or mammoths). Today, such ideas may seem obvious, but they were profound advances for their time, and they show that the history of mathematics is above all a great contribution to humanity.

Although it was human curiosity and intuition that recognized the underlying principles of mathematics, and human ingenuity that later provided various means of recording and recording them, such principles in themselves are not a human invention. The fact that 2 + 2 = 4 is true, regardless of human existence; the rules of mathematics, like the laws of physics, are universal, eternal, and invariable. By showing for the first time that the angles of any triangle in a plane add up to 180 ° (a straight line), mathematicians did not invent, but discovered a fact that had always been true, and always will be.

The development of everyday applications greatly helped mathematical discovery began in prehistoric times, with the development of ways of counting things that needed to be quantified. In its simplest version, it could be marks on bones or sticks, a rudimentary but reliable means of recording the number of certain things. Over time words and symbols were assigned to numbers, and the first numbering systems evolved, a means of expressing operations such as the acquisition of additional items, the depletion of stored product, or basic arithmetic operations.

With the discovery of the activities of hunting and gathering to commerce and agriculture, and with the increasing sophistication of societies, arithmetic operations and a numbering system became essential tools for transactions of all kinds. To facilitate trade, inventory management, and taxation of countless goods such as oil, flour, or parcels of land, measurement systems were developed, assigning numerical values ​​to dimensions such as weight and length. The calculations also became more complex, developing the concepts of multiplication and division from addition and subtraction, which made it possible to calculate, for example, land areas.

In ancient civilizations, these new mathematical findings, and in particular the measurement of objects in space, formed the foundation of geometry, knowledge that could be applied to the construction and manufacture of tools. By using these measurements for practical purposes, certain patterns emerged that could be useful in turn. With a triangle with sides of three, four and five units, a simple but precise architect's square could be made. Without such precise tools and knowledge, the roads, canals, ziggurats and pyramids of ancient Mesopotamia and Egypt could not have been built.

As new applications for these mathematical discoveries were found - in astronomy, navigation, engineering, accounting, taxation, and other fields - new patterns and ideas emerged. Ancient civilizations laid the foundations of mathematics through this interdependent process of application and discovery, but they also developed a fascination for mathematics itself, or so-called pure mathematics.

From the middle of the first millennium BC. The first pure mathematicians began to emerge in Greece, and a little later in India and China, and built on the legacy of the practical pioneers of the discipline: the engineers, astronomers, and explorers of earlier civilizations.

Although they were not particularly interested in the practical applications of their findings, these ancient mathematicians did not limit their studies to mathematics. By exploring the properties of numbers, shapes, and processes, they discovered universal rules and patterns that raised metaphysical questions about the nature of the cosmos, even attributing mystical properties to these patterns. Mathematics, therefore, used to be regarded as a complementary discipline to philosophy - many of the greatest mathematicians of all time were also philosophers, or vice versa - and the link between the two disciplines has persisted to the present day.

Thus began the history of mathematics as it is conceived today: the discoveries, conjectures, and knowledge of mathematicians that make up the bulk of this book. In addition to individual thinkers and their ideas, it is a history of societies and cultures, a continuously developing thread of thought that from the ancient civilizations of Mesopotamia and Egypt passed through Greece, China, India, the Islamic Empire and the Europe of the Renaissance to the modern world. In its evolution, mathematics incorporated several separate but interconnected fields of study.

The first of these fields to emerge, and in many respects the most fundamental, was the study of numbers and quantities, today called arithmetic, from the Greek arithmos ("number"). At its most basic level, it deals with counting and assigning numerical values ​​to things, but also with operations applicable to numbers, such as addition, subtraction, multiplication, and division. From the simple concept of a number system comes the study of the properties of numbers, and also the study of the concept itself. Certain numbers - such as the constants π., E, or the prime and irrational numbers - have been the object of a special fascination, and thus considerable study.

Another relevant field of mathematics is algebra, which is the study of structure, the way mathematics is organized, and therefore has some relevance in all other fields. What distinguishes algebra from arithmetic is the use of symbols such as letters to represent variables (unknown numbers). In its most basic form, algebra is the study of the underlying rules of using such symbols in mathematics, for example in equations. The methods of solving equations, even complex ones of the second degree, had already been discovered by the ancient Babylonians, but it was the medieval mathematicians of the golden age of Islam who pioneered the use of symbols to simplify the process, and they left us the term algebra, from arabic to jabr. More recent developments in algebra have extended the idea of ​​abstraction to the study of algebraic structure, known as abstract algebra.

A third major field of mathematics is geometry, which deals with the concept of space and the relationships between objects in it: the study of the shape, size and position of figures. It evolved from the very practical activity of describing the physical dimensions of things in engineering and construction projects, from the measurement and distribution of parcels of land, and from astronomical observations for navigation and the development of calendars. One particular branch of geometry, trigonometry (the study of the properties of triangles) proved especially useful in such endeavors. Perhaps because of its very specific nature, geometry was the cornerstone for many ancient civilizations, providing a means of problem solving and demonstration in other fields.

This was particularly the case in ancient Greece, where geometry and mathematics were practically synonymous. The legacy of the great mathematical philosophers such as Pythagoras, Plato and Aristotle was consolidated by Euclid, whose mathematical principles based on a combination of geometry and logic were accepted as the foundation of the discipline for some two thousand years. In the 19th century, however, alternatives to classical Euclidean geometry were proposed that opened up new fields of study, including topology, which studies the nature and properties not only of objects in space, but of space itself.

Since classical times, mathematics dealt with static situations, or the way things are at a given moment, and did not offer a means of measuring or calculating continuous change. Calculus, independently developed by Gottfried Leibniz and Isaac Newton in the 17th century, answered this problem. The two arms of calculus, integral and differential, provided a means of analysis for such things as the slope of the curves on a graph and the area under them, in order to describe and calculate the change.

The discovery of the calculus opened a field of analysis that would be especially relevant later, for example for the theory of quantum mechanics and the theory of chaos in the 20th century.

At the end of the 19th century and the beginning of the 20th, a new mathematical field emerged, that of the foundations of mathematics, which revived the link between philosophy and mathematics. Like Euclid in the third century BC, scholars such as Gottlob Frege and Bertrand Russell tried to discover the logical foundations on which mathematical principles are based. His work inspired a reexamination of the nature of mathematics itself, how it works, and what its limits are. This study of basic mathematical concepts is perhaps the most abstract of fields, a kind of meta-mathematics, but it is an essential annex to all other fields of modern mathematics.

The fields of mathematics - geometry, algebra, arithmetic, calculus, and fundamentals - are worthy of study in their own right, and the popular image of academic mathematics is that of an almost incomprehensible abstraction. However, practical applications have been found for mathematical discoveries, and scientific and technological advances have led to innovations in mathematical thinking.

One example noted is the symbiotic relationship between mathematics and computers. Originally designed as a mechanical means of performing tedious calculations and making tables for mathematicians, astronomers, and other scholars, the very construction of new computers required new mathematical approaches. It was mathematicians, as well as engineers, who provided the means to build computing devices, first mechanical, then electronic, which in turn served as a tool in the discovery of new mathematical concepts. Undoubtedly, new applications for mathematical theorems will be found in the future, and, given the many problems yet to be solved, there seems to be no limit to future mathematical discoveries.

The history of mathematics is an exploration of these different fields and the discovery of new ones, but it is also the history of the explorers themselves, the mathematicians who set themselves a definite goal, to find solutions to unsolved problems; who ventured into unknown territory in search of new ideas; or that they simply came up with an idea in the course of their mathematical journey that inspired the vision of where it would lead. The discovery occurred in some cases as a revelation that transformed approaches, opening the way to unexplored fields; others were cases of finding themselves "on the shoulders of giants," developing the ideas of earlier thinkers or finding practical applications for them.