La Filosofía de la Matemática de Platón.
«[Los matemáticos] se sirven de figuras visibles que dan pie para sus razonamientos, pero en realidad no piensan en ellas, sino en aquellas cosas a las que se parecen. Y así, por ejemplo, cuando tratan del cuadrado en sí y de su diagonal, no tienen en el pensamiento el que dibujan y otras cosas por el estilo. Las mismas cosas que modelan y dibujan, cuyas imágenes nos las ofrecen las sombras y los reflejos del agua son empleadas por ellos con ese carácter de imágenes, pues bien saben que la realidad de esas cosas no podrá ser percibida sino con el pensamiento.»
Por ello, para Platón, la Matemática debe ser independiente de todo pragmatismo, de toda empiria y de la utilidad inmediata, y debe estar liberada intelectualmente de todo instrumento material –que son elementos corruptores y degradantes–, como señala Plutarco en sus Vidas Paralelas (Vida de Marcelo), cuando nos habla de la indignación de Platón ante el uso de artificios mecánicos en la Geometría:
«Platón se indispuso e indignó con ellos [contra Arquitas de Tarento y Eudoxo de Cnido], porque degradaban y echaban a perder lo más excelente de la Geometría con trasladarla de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales.»
El mismo Platón señala una y otra vez en la República que la Geometría no debe tener otra finalidad que el conocimiento en sí mismo. Así lo proclama en 526e–527b:
«[...] La parte más elevada de esta ciencia nos conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. [...] La Geometría nos obliga a contemplar la esencia. [...] Es una ciencia del conocimiento del ser, no de lo que está sujeto al cambio o desaparición. [...] Conducirá al alma hacia la verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba».
Platón describe también, con su inveterado idealismo, la misión de la Aritmética como ciencia para escapar del ámbito sensible y elevar el alma hacia lo abstracto (525d–526c):
«[...] Es lo cierto que esa ciencia [la Aritmética] conduce el alma hacia lo alto y la obliga a razonar sobre los números, sin permitir de ningún modo que nadie presente un ejemplo de números corpóreos y tangibles. [...] Esa ciencia se nos presenta con visos de necesaria, puesto que parece forzar al alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí.»
Tan importante considera Platón el adiestramiento en estas ciencias en la formación del filósofo que prescribe se deben imponer en la instrucción por imperativo legal (525b–525d):
«... Convendrá imponer esta enseñanza por medio de una ley y convencer a los que deban ocupar los puestos de gobierno de la ciudad para que desarrollen su gusto por estas artes [las ciencias matemáticas].
De esta visión platónica idealista podría derivar la distinción entre Aritmética y Geometría como factores espirituales de elevación hacia la Filosofía y Logística y Geodesia como instrumentos materiales y utilitarios de los artesanos y técnicos. Como consecuencia de ello, pudo haber sido Platón el responsable de la restricción en las construcciones geométricas griegas a aquellas que pueden realizarse sólo con regla y compás.
La Matemática como propedéutica de la Filosofía.
Para Platón la Matemática tienen como misión elevar el alma de las cosas sensibles a la verdad ideal inteligible, cognoscible por vía exclusivamente racional. Pero es en el acto del filósofo de trascender el mundo físico donde las ciencias matemáticas juegan un papel esencial, ya que permiten realizar una intermediación en el tránsito de lo sensible a lo racional. Esta visión platónica de las Matemáticas campea a lo largo de los Diálogos, sobre todo en la República, un texto fundamental para comprender la Filosofía de la Matemática de Platón que tanta trascendencia ha tenido en la evolución ulterior de esta ciencia. En esta obra, Platón expone una grandiosa concepción ontológica de la Matemática que ha tenido un singular atractivo sobre los matemáticos de todas las épocas. A través del bellísimo lenguaje metafórico de la Alegoría de la Línea (509d–511e) y de la Alegoría de la Caverna (514a–519d), Platón reflexiona, una y otra vez, acerca de la naturaleza de las entidades matemáticas, del lugar que ocupan en los diversos dominios de la realidad y de las relaciones que establecen con los diversos ámbitos del conocimiento.
El pensamiento discursivo de la Matemática (diánoia) es el conocimiento que se obtiene cuando se razona y se va de las hipótesis a las conclusiones que de ellas se deducen. En este mundo se encuentran las formas de los números y las formas geométricas. Corresponde, en la alegoría de la caverna, al conocimiento que los liberados de la cueva tienen de los objetos mismos. Pero la Matemática no es la ciencia más perfecta, porque necesita utilizar ejemplos o imágenes sensibles para sus demostraciones, en las que el geómetra se tiene que conformar con una representación material y, por tanto, inexacta de las distintas figuras geométricas. Sabe que el cuadrado o el círculo no son más que copias o imágenes del Cuadrado en sí, del Círculo en sí. Además, las demostraciones de las Matemáticas se realizan a partir de hipótesis, de supuestos, pero no se pregunta por su validez, sino que se presupone. El pensamiento intelectivo que por ser conocimiento intuitivo de las ideas, es superior a la Matemática no es otro que la Dialéctica. Gracias a ella nuestra razón es capaz de utilizar las hipótesis de las otras ciencias inferiores –las Matemáticas– como trampolines hasta alcanzar el principio de todo, la verdad suprema. Es la Idea de Bien. Así pues, ya que la Matemática para estudiar sus objetos geométricos y aritméticos –figuras y números–, necesita servirse de objetos sensibles utilizándolos como imágenes para referirse a sus objetos ideales, es decir, recurre a lo sensible para elevarse a lo inteligible, resulta ser como ciencia, el más conveniente puente para transitar del mundo sensible de la opinión, creencia, imaginación, conjetura, figuración, etc., de la Física, al mundo inteligible de las Ideas de la verdadera Filosofía, la ciencia perfecta de la inteligencia pura, que es la Dialéctica. El estudio de las ciencias matemáticas es la necesaria preparación introductoria para la Dialéctica. En palabras de Platón:
«La Aritmética y la Geometría son una propedéutica para la Dialéctica» (536d).
«Todas estas ciencias [matemáticas] no son más que el preludio de la melodía que se debe aprender, [...] que no es otra que la melodía que ejecuta la Dialéctica» (531d).
«El poder dialéctico sólo se revelará a quien sea experto en estas ciencias» (533a).
En resumen, las ciencias matemáticas son el instrumento que permite al verdadero filósofo empezar a romper las cadenas que le tienen aprisionado en la oscuridad del mundo sensible de la caverna e ir alcanzando progresivamente la contemplación de la realidad del mundo inteligible –las ideas y las formas eternas inmateriales y universales o nóesis– (la Dialéctica, la Filosofía), cuyo ascenso se inicia comenzando por las formas geométricas, verdadera matriz de las ideas y formas abstractas: la Belleza, la Justicia, el Bien, etc. Por eso la Matemática tiene una importancia tan relevante en el pensamiento de Platón, quien ejerció una influencia decisiva en la Matemática de su tiempo, asignándole una jerarquía excepcional entre todos los estudios de la Academia
Dios siempre hace Geometría. La cosmogonía poliédrica del Timeo de Platón.
El Timeo es un grandioso mito cosmogónico de raíz pitagórica donde Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de toda la naturaleza. La acción demiúrgica del Dios geómetra soberano geometriza el universo y lo diseña según las leyes de la Matemática, disponiendo los cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía matemática (Timeo,53a–53b). Con un inusitado despliegue de fantasía geométrico-cósmica, Platón dibuja el mundo físico y explica los fenómenos naturales en clave geométrica mediante una trasferencia de propiedades del mundo matemático al mundo natural.
Cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, que compone las caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros. En cuanto al dodecaedro, cuyas caras no se pueden componer con los triángulos más bellos, Platón sugiere que es la forma general del universo (54d–55c). Tras la lectura del fastuoso Timeo uno entiende que a los poliedros regulares se les llama Cuerpos platónicos.
En la Imagen, Platón con el rostro de Leonardo. Fragmento de la Escuela de Atenas de Rafael. Platón sostiene en una mano El Timeo y eleva hacia el cielo el dedo índice de la otra mano como indicando lo ideal y lo sublime.
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